Cálculo
Qué es una integral y cómo se interpreta
Una integral es la operación inversa de la derivada. Sirve para calcular áreas, acumulaciones y funciones originales a partir de su tasa de cambio.
Respuesta rápida
¿Qué es una integral?
Una integral calcula el área acumulada bajo una curva. Si la derivada mide la tasa de cambio en un punto, la integral acumula esos cambios a lo largo de un intervalo.
Integral indefinida: ∫f(x) dx = F(x) + C
Integral definida: ∫[a,b] f(x) dx = F(b) − F(a)
Ejemplo: ∫ 2x dx = x² + C. Con límites de 0 a 3: 3² − 0² = 9
Qué significa integrar
Integrar es el proceso de sumar infinitas porciones muy pequeñas para obtener un total. Si tienes la velocidad de un objeto en cada instante, la integral de esa velocidad te da la distancia recorrida.
La notación ∫ es la letra S alargada, de "suma". El símbolo dx indica la variable respecto a la que integras.
El teorema fundamental del cálculo establece que la derivación y la integración son operaciones inversas. Si F'(x) = f(x), entonces ∫f(x) dx = F(x) + C.
Integral indefinida e integral definida
Integral indefinida
No tiene límites. El resultado es una familia de funciones con constante C. Ejemplo: ∫ 3x² dx = x³ + C
Integral definida
Tiene límites inferior (a) y superior (b). El resultado es un número concreto. Ejemplo: ∫[1,3] 3x² dx = 3³ − 1³ = 26
Reglas básicas de integración
| Función | Integral | Ejemplo |
|---|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹ / (n+1) + C | ∫ x³ dx = x⁴/4 + C |
| Constante k | kx + C | ∫ 5 dx = 5x + C |
| eˣ | eˣ + C | ∫ eˣ dx = eˣ + C |
| 1/x | ln|x| + C | ∫ (1/x) dx = ln|x| + C |
| sen(x) | −cos(x) + C | ∫ sen(x) dx = −cos(x) + C |
| cos(x) | sen(x) + C | ∫ cos(x) dx = sen(x) + C |
Qué significa el área bajo la curva
La integral definida de f(x) entre a y b mide el área firmada entre la curva y el eje x. Firmada significa que las áreas por debajo del eje cuentan como negativas.
Si la velocidad de un coche es v(t) km/h, entonces ∫[0,2] v(t) dt te da los kilómetros recorridos en 2 horas. Esa es la interpretación práctica más común.
v(t) = 60 (velocidad constante de 60 km/h)
∫[0,2] 60 dt = 60 × 2 = 120 km
Errores frecuentes al integrar
Olvidar la constante C
En integrales indefinidas, siempre hay que escribir +C. La integral de 2x es x² + C, no solo x².
Confundir derivada e integral
La derivada de x³ es 3x². La integral de x³ es x⁴/4 + C. Son operaciones inversas, no iguales.
Error al aplicar el TFC
Al evaluar F(b) − F(a), calcular primero F(b) y luego restar F(a). El orden importa.
No simplificar antes de integrar
∫ (x² + x) / x dx se puede simplificar a ∫ (x + 1) dx antes de integrar.
Practica con la calculadora de integrales o explora más temas de cálculo.