Cálculo
Qué es una integral y cómo se interpreta
Una integral es la operación inversa de la derivada. Sirve para calcular áreas, acumulaciones y funciones originales a partir de su tasa de cambio.
Respuesta rápida
¿Qué es una integral?
Una integral calcula el área acumulada bajo una curva o la antiderivada de una función. Si la derivada mide la tasa de cambio en un punto, la integral acumula esos cambios a lo largo de un intervalo.
Integral indefinida: ∫f(x) dx = F(x) + C
Integral definida: ∫[a,b] f(x) dx = F(b) − F(a)
Ejemplo: ∫ 2x dx = x² + C. Con límites [0, 3]: 3² − 0² = 9
Qué es una integral y para qué sirve
La integral es una de las dos operaciones fundamentales del cálculo (junto con la derivada). De manera intuitiva, integrar significa acumular o sumar infinitas cantidades muy pequeñas para obtener un total. La notación ∫ es una S alargada, abreviatura de "suma" en latín.
El ejemplo clásico es la velocidad. Si un objeto se mueve a velocidad variable v(t), no puedes calcular la distancia recorrida con una simple multiplicación. Pero si sumas las distancias recorridas en cada instante infinitesimal (v × dt para cada dt), obtienes la distancia total. Esa suma infinita es exactamente la integral de v(t).
Más generalmente, la integral de una función f(x) entre dos puntos a y b mide el área firmada bajo la curva entre esos límites. "Firmada" significa que las regiones por debajo del eje x contribuyen con área negativa, mientras que las que están por encima contribuyen con área positiva.
El Teorema Fundamental del Cálculo establece que la integración y la derivación son operaciones inversas: si F'(x) = f(x), entonces ∫f(x) dx = F(x) + C. Esto permite calcular integrales usando antiderivadas en lugar de realizar la suma infinita directamente.
Integral indefinida vs. integral definida
Integral indefinida
No tiene límites. El resultado es una familia de funciones con una constante de integración C, porque infinitas funciones tienen la misma derivada. Ejemplo: ∫ 3x² dx = x³ + C
Integral definida
Tiene límites inferior (a) y superior (b). El resultado es un número concreto. Se aplica el Teorema Fundamental: F(b) − F(a). Ejemplo: ∫[1,3] 3x² dx = 3³ − 1³ = 27 − 1 = 26
Reglas básicas de integración
| Función | Integral | Ejemplo |
|---|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹ / (n+1) + C | ∫ x³ dx = x⁴/4 + C |
| Constante k | kx + C | ∫ 5 dx = 5x + C |
| eˣ | eˣ + C | ∫ eˣ dx = eˣ + C |
| 1/x | ln|x| + C | ∫ (1/x) dx = ln|x| + C |
| sen(x) | −cos(x) + C | ∫ sen(x) dx = −cos(x) + C |
| cos(x) | sen(x) + C | ∫ cos(x) dx = sen(x) + C |
Ejemplos resueltos paso a paso
Integral indefinida: ∫ (3x² + 2x − 5) dx
∫ 3x² dx = 3 · (x³/3) = x³
∫ 2x dx = 2 · (x²/2) = x²
∫ −5 dx = −5x
Resultado: x³ + x² − 5x + C
Integral definida: ∫[0,2] (x² + 1) dx
Antiderivada: F(x) = x³/3 + x
F(2) = 8/3 + 2 = 8/3 + 6/3 = 14/3
F(0) = 0/3 + 0 = 0
Resultado: 14/3 ≈ 4.667
Área bajo la curva: ∫[1,4] √x dx
√x = x^(1/2) → ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2) / (3/2) = (2/3)x^(3/2)
F(4) = (2/3) × 4^(3/2) = (2/3) × 8 = 16/3
F(1) = (2/3) × 1 = 2/3
Resultado: 16/3 − 2/3 = 14/3 ≈ 4.667
La integral como área bajo la curva
La interpretación geométrica más importante de la integral definida es el área firmada entre la curva y el eje x. Si la curva está por encima del eje, el área es positiva. Si está por debajo, el área es negativa.
Esta interpretación tiene aplicaciones directas en física: si v(t) es la velocidad de un objeto en función del tiempo, ∫[a,b] v(t) dt te da el desplazamiento neto entre los instantes a y b. Si la velocidad es siempre positiva (el objeto siempre avanza), el desplazamiento coincide con la distancia recorrida.
v(t) = 60 km/h (velocidad constante)
∫[0,2] 60 dt = 60 × 2 = 120 km recorridos en 2 horas
En economía, si f(q) es la función de ingreso marginal, su integral da el ingreso total. En probabilidad, el área bajo una función de densidad entre dos valores da la probabilidad de que la variable caiga en ese intervalo.
Errores frecuentes al integrar
Olvidar la constante C
En integrales indefinidas, siempre hay que escribir + C. La integral de 2x es x² + C, no solo x².
Confundir derivada e integral
La derivada de x³ es 3x². La integral de x³ es x⁴/4 + C. Son operaciones inversas pero con resultados distintos.
Error al aplicar el Teorema Fundamental
Al evaluar F(b) − F(a), calcular primero F(b) y luego restar F(a). El orden importa: no es F(a) − F(b).
No simplificar el integrando primero
∫ (x² + x)/x dx se puede simplificar a ∫ (x + 1) dx antes de integrar, lo que evita errores.
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