Cálculo
Qué es una derivada y para qué sirve
La derivada mide cómo cambia una función al variar su variable. Este artículo explica el concepto de forma accesible: qué significa una derivada, cómo interpretarla como pendiente o tasa de cambio, las reglas básicas y cinco ejemplos resueltos.
Respuesta rápida
La derivada de una función mide cómo cambia esa función al variar su variable. Indica la tasa de cambio instantánea y la pendiente de la tangente en cada punto.
d/dx [x²] = 2x d/dx [x³] = 3x²
Qué es una derivada
Una derivada es la medida de cómo cambia el valor de una función cuando su variable cambia un poco. En términos prácticos, responde a la pregunta: si x cambia ligeramente, ¿cuánto cambia f(x)?
La derivada se representa como f'(x), dy/dx o d/dx[f(x)]. Las tres notaciones significan lo mismo: la tasa de cambio instantánea de la función en el punto x.
Cómo interpretar una derivada
Como pendiente
La derivada en un punto es la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto. Indica cuán empinada es la función en ese instante.
Como tasa de cambio
En física, la derivada de la posición respecto al tiempo es la velocidad. En economía, la derivada del costo respecto a la cantidad producida es el costo marginal.
Reglas básicas de derivación
Constante
Potencia
Constante × función
Suma
Resta
Ejemplos resueltos
Aplica la regla de la potencia: baja el exponente y resta 1.
La constante 3 se multiplica por el coeficiente que baja.
El exponente baja y la nueva potencia es x².
La derivada de cx es c. La variable desaparece.
La derivada de una constante siempre es cero.
Errores comunes al derivar
Olvidar que la derivada de una constante es 0
d/dx [5] = 0, no 5. Una constante no cambia con x, por eso su tasa de cambio es cero.
No bajar el exponente correctamente
En la regla de la potencia, el exponente baja como coeficiente y se resta 1 al exponente restante. d/dx [x⁴] = 4x³, no 4x⁴.
Derivar cada término por separado cuando hay productos
La derivada de f(x)·g(x) no es f'(x)·g'(x). Los productos requieren la regla del producto: f'g + fg'.
Confundir la función con su derivada
f(x) = x² es la función. f'(x) = 2x es su derivada. Son objetos distintos que tienen significados diferentes.
Cuándo usar la calculadora de derivadas
La calculadora de derivadas resuelve funciones polinomiales, trigonométricas y exponenciales y muestra el procedimiento paso a paso. Es útil para verificar resultados o trabajar con funciones más complejas.
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