Cálculo
Reglas de logaritmos explicadas con ejemplos
El logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué potencia hay que elevar la base para obtener ese número? Las reglas de los logaritmos simplifican los cálculos con potencias y multiplicaciones.
Respuesta rápida
¿Cuáles son las reglas de los logaritmos?
Hay cuatro reglas principales: producto, cociente, potencia y cambio de base. Todas derivan de las propiedades de las potencias.
Producto: log(A·B) = log(A) + log(B)
Cociente: log(A/B) = log(A) − log(B)
Potencia: log(Aⁿ) = n·log(A)
Cambio base: log_b(x) = log(x) / log(b)
Qué es un logaritmo y por qué existe
El logaritmo es la operación inversa de la exponenciación. Si la potencia responde a "¿cuánto es 2 elevado a 5?", el logaritmo responde a "¿a qué potencia hay que elevar 2 para obtener 32?". La respuesta en ambos casos es 5.
Formalmente: log_b(x) = n significa que bⁿ = x. La base b puede ser cualquier número positivo distinto de 1, pero las más usadas son la base 10 (logaritmo decimal, escrito simplemente como "log") y la base e ≈ 2.71828 (logaritmo natural, escrito como "ln").
log₂(8) = 3 porque 2³ = 8
log₁₀(100) = 2 porque 10² = 100
ln(e²) = 2 porque e² ≈ 7.389
log₅(1) = 0 porque 5⁰ = 1
Los logaritmos se inventaron en el siglo XVII para simplificar cálculos astronómicos. Transforman multiplicaciones en sumas y divisiones en restas, algo muy útil antes de las calculadoras electrónicas. Hoy siguen siendo esenciales para modelar fenómenos que crecen o decrecen exponencialmente.
Las 4 reglas con ejemplos y demostración
1. Regla del producto
log_b(A · B) = log_b(A) + log_b(B)
log(2 × 50) = log(2) + log(50) = log(100) = 2
El logaritmo convierte multiplicaciones en sumas. Útil para simplificar expresiones complejas.
2. Regla del cociente
log_b(A / B) = log_b(A) − log_b(B)
log(1000/10) = log(1000) − log(10) = 3 − 1 = 2
El logaritmo convierte divisiones en restas. La base no cambia en ninguno de los dos términos.
3. Regla de la potencia
log_b(Aⁿ) = n · log_b(A)
log(10³) = 3 × log(10) = 3 × 1 = 3
El exponente sale como factor multiplicativo. Fundamental para resolver ecuaciones exponenciales.
4. Cambio de base
log_b(x) = log(x) / log(b) = ln(x) / ln(b)
log₅(25) = log(25) / log(5) = 1.398 / 0.699 ≈ 2
Permite calcular cualquier logaritmo usando solo base 10 o base e, que son las que tienen los botones en la calculadora.
Propiedades que siempre se cumplen
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Logaritmo de 1 | log_b(1) = 0 | log(1) = 0 siempre |
| Logaritmo de la base | log_b(b) = 1 | log₅(5) = 1, ln(e) = 1 |
| Base elevada al log | b^(log_b(x)) = x | 10^(log 5) = 5 |
| Logaritmo de negativos | No definido en reales | log(−3) no existe en ℝ |
| Logaritmo de cero | No definido | log(0) → −∞ (tiende a −∞) |
Ejemplos combinando varias reglas
Simplifica: log(8x³ / y²)
= log(8x³) − log(y²) (regla del cociente)
= log(8) + log(x³) − log(y²) (regla del producto)
= log(8) + 3·log(x) − 2·log(y) (regla de la potencia)
= 3log(2) + 3log(x) − 2log(y)
Resuelve: log₃(x) = 4
Definición: log_b(x) = n significa bⁿ = x
log₃(x) = 4 → 3⁴ = x
x = 81
Aplicaciones reales de los logaritmos
Escala Richter (terremotos)
Cada punto de aumento en la escala Richter representa un aumento de 10 veces en la amplitud de las ondas. La escala es logarítmica en base 10.
Decibelios (sonido)
La escala de decibelios es logarítmica. Un aumento de 10 dB corresponde a multiplicar la intensidad del sonido por 10.
pH (acidez)
El pH es el logaritmo negativo de la concentración de iones H⁺. Un pH de 3 es 10 veces más ácido que un pH de 4.
Interés compuesto
Para calcular cuánto tiempo tarda una inversión en duplicarse, se usa ln(2) / r, donde r es la tasa de interés anual (regla del 72).
Tecnología y algoritmos
La complejidad O(log n) en informática significa que el tiempo de ejecución crece logarítmicamente con el tamaño del problema (búsqueda binaria).
Entropía en información
La cantidad de información de un mensaje se mide en bits con la función log₂. Un evento de probabilidad 1/n tiene log₂(n) bits de información.
Errores frecuentes con logaritmos
log(A + B) ≠ log A + log B
Falso. La regla del producto es log(A·B) = log A + log B. La suma dentro del logaritmo no puede separarse.
Olvidar que log(0) no existe
El logaritmo solo está definido para números positivos. log(0) y log(−5) no tienen valor real.
Confundir base en el cambio de base
log_b(x) = log(x)/log(b). La base b va en el denominador, no en el numerador.
Distribuir el log en una división
log(A/B) = log A − log B, no log A / log B. La división dentro se convierte en resta, no en división.
Calcula logaritmos en cualquier base
La calculadora de logaritmos calcula log₁₀, ln y cualquier base personalizada con el procedimiento explicado paso a paso.
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