Cálculo
Reglas de logaritmos explicadas con ejemplos
El logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué potencia hay que elevar la base para obtener ese número? Las reglas de los logaritmos simplifican los cálculos con potencias y multiplicaciones.
Respuesta rápida
¿Cuáles son las reglas de los logaritmos?
Hay cuatro reglas principales: producto, cociente, potencia y cambio de base. Todas derivan de las propiedades de las potencias.
Producto: log(A·B) = log(A) + log(B)
Cociente: log(A/B) = log(A) − log(B)
Potencia: log(Aⁿ) = n·log(A)
Cambio base: log_b(x) = log(x) / log(b)
Qué es un logaritmo
El logaritmo responde a: ¿a qué potencia hay que elevar la base para obtener ese número?
log₂(8) = 3 porque 2³ = 8
log₁₀(100) = 2 porque 10² = 100
ln(e²) = 2 porque e² = e²
Cuando no se escribe la base, se sobreentiende base 10 (logaritmo decimal). La notación ln es el logaritmo natural, con base e (≈ 2.718).
Las cuatro reglas con ejemplos
Regla del producto
log_b(A · B) = log_b(A) + log_b(B)
log(2 · 50) = log(2) + log(50) = log(100) = 2
El logaritmo convierte multiplicaciones en sumas.
Regla del cociente
log_b(A / B) = log_b(A) − log_b(B)
log(1000/10) = log(1000) − log(10) = 3 − 1 = 2
El logaritmo convierte divisiones en restas.
Regla de la potencia
log_b(Aⁿ) = n · log_b(A)
log(10³) = 3 · log(10) = 3 · 1 = 3
El exponente sale como factor.
Cambio de base
log_b(x) = log(x) / log(b)
log₅(25) = log(25) / log(5) = 1.398 / 0.699 = 2
Convierte cualquier logaritmo a base 10 o base e.
Propiedades que siempre se cumplen
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Logaritmo de 1 | log_b(1) = 0 | log(1) = 0 |
| Logaritmo de la base | log_b(b) = 1 | log₅(5) = 1 |
| Base elevada al log | b^(log_b(x)) = x | 10^(log 5) = 5 |
| Log de base negativa | No definido (base > 0 y ≠ 1) | log₋₂(8) no existe |
Errores frecuentes con logaritmos
Pensar que log(A + B) = log A + log B
Falso. La regla del producto es log(A·B) = log A + log B. La suma dentro no puede separarse.
Olvidar que log(0) no existe
El logaritmo solo está definido para números positivos. log(0) y log(−5) no tienen valor real.
Confundir base en el cambio de base
log_b(x) = log(x)/log(b). La base b va en el denominador, no en el numerador.
Distribuir el log en una división
log(A/B) = log A − log B, no log A / log B. La división dentro se convierte en resta.
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