Álgebra
Cómo resolver sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones agrupa dos o más ecuaciones con las mismas incógnitas. Existen tres métodos principales: sustitución, eliminación y matrices.
Respuesta rápida
¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones?
Un sistema de ecuaciones se resuelve encontrando los valores que satisfacen todas las ecuaciones a la vez. Los tres métodos principales son sustitución, igualación y reducción (eliminación).
Sistema: x + y = 5
2x − y = 1
Suma ambas: 3x = 6 → x = 2
2 + y = 5 → y = 3
Solución: (x=2, y=3)
Qué es un sistema de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas incógnitas. La solución es el conjunto de valores que satisface todas las ecuaciones simultáneamente.
Los sistemas más comunes son los de 2×2 (dos ecuaciones con dos incógnitas) y los de 3×3 (tres ecuaciones con tres incógnitas). La solución puede ser un punto, una recta (infinitas soluciones) o no existir.
Método de sustitución
Despeja una incógnita en una ecuación y sustitúyela en la otra. Así reduces el sistema a una sola ecuación con una incógnita.
Ejemplo: x + y = 5 y 2x − y = 1
- 1. De la primera: y = 5 − x
- 2. Sustituye en la segunda: 2x − (5−x) = 1
- 3. 2x − 5 + x = 1 → 3x = 6 → x = 2
- 4. Sustituye x=2: y = 5 − 2 = 3
Solución: x = 2, y = 3
Método de reducción (eliminación)
Suma o resta las ecuaciones para eliminar una incógnita. A veces hay que multiplicar una ecuación antes de sumarlas para que los coeficientes se anulen.
Ejemplo: 3x + 2y = 12 y x − 2y = 4
- 1. Los coeficientes de y son +2 y −2: se cancelan al sumar.
- 2. (3x + 2y) + (x − 2y) = 12 + 4
- 3. 4x = 16 → x = 4
- 4. Sustituye x=4: 3×4 + 2y = 12 → 2y = 0 → y = 0
Solución: x = 4, y = 0
Tipos de sistemas según sus soluciones
Compatible determinado
Tiene exactamente una solución. Las rectas se cortan en un punto.
x=2, y=3
Compatible indeterminado
Tiene infinitas soluciones. Las ecuaciones representan la misma recta.
x + y = 5 es múltiplo de 2x + 2y = 10
Incompatible
No tiene solución. Las rectas son paralelas y no se cortan.
x + y = 3 y x + y = 7
Errores frecuentes con sistemas de ecuaciones
No verificar la solución
Siempre sustituye los valores encontrados en ambas ecuaciones originales. Un error de cálculo puede dar una solución incorrecta.
Olvidar el signo al sustituir
Si y = 5 − x y x = 2, entonces y = 5 − 2 = 3, no 5 + 2. Respeta el signo del término que despejas.
Multiplicar solo una ecuación
Al multiplicar para eliminar una variable, multiplica todos los términos de la ecuación, no solo los que te interesan.
Confundir sistema incompatible con error propio
Si llegas a 0 = 5, no hay solución. No busques el error: el sistema es incompatible.
Resuelve sistemas con la calculadora de sistemas de ecuaciones o explora todas las calculadoras de álgebra.
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