Álgebra Lineal
Cómo calcular determinantes paso a paso
El determinante es un número que resume propiedades clave de una matriz cuadrada. Indica si la matriz tiene inversa, si el sistema de ecuaciones tiene solución única, y más.
Respuesta rápida
¿Qué es el determinante de una matriz?
El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Indica si la matriz tiene inversa (det ≠ 0) y mide el factor de escala de la transformación que representa.
Matriz 2×2: A = [[a b],[c d]]
det(A) = a×d − b×c
A = [[3 1],[2 4]] → det = 3×4 − 1×2 = 10
Para qué sirve el determinante
El determinante tiene varios usos concretos en álgebra lineal y geometría:
- • Determinar si una matriz tiene inversa: la tiene si y solo si det ≠ 0.
- • Resolver sistemas de ecuaciones por la regla de Cramer.
- • Calcular el área de un paralelogramo a partir de sus vectores.
- • Comprobar si dos vectores son paralelos (det = 0 significa que son linealmente dependientes).
Cómo calcular el determinante 2×2
Para una matriz 2×2, multiplica los elementos de la diagonal principal y réstale el producto de la diagonal secundaria.
det[[a b],[c d]] = a·d − b·c
[[2 3],[1 4]]
det = 2×4 − 3×1 = 8 − 3 = 5
det = 5
[[5 0],[3 2]]
det = 5×2 − 0×3 = 10 − 0 = 10
det = 10
[[4 2],[2 1]]
det = 4×1 − 2×2 = 4 − 4 = 0
det = 0 → sin inversa
Cómo calcular el determinante 3×3
Para matrices 3×3 se usa la regla de Sarrus o la expansión por cofactores. La regla de Sarrus copia las dos primeras columnas a la derecha y suma diagonales descendentes menos diagonales ascendentes.
A = [[1 2 3],[4 5 6],[7 8 9]]
Diagonales ↘: 1·5·9 + 2·6·7 + 3·4·8 = 45+84+96 = 225
Diagonales ↗: 3·5·7 + 1·6·8 + 2·4·9 = 105+48+72 = 225
det = 225 − 225 = 0
det = 0 significa que las filas son linealmente dependientes y la matriz no tiene inversa.
Propiedades del determinante
det(A·B) = det(A)·det(B)
El determinante del producto es el producto de los determinantes.
det(Aᵀ) = det(A)
La matriz transpuesta tiene el mismo determinante.
Fila de ceros → det = 0
Si una fila o columna es toda ceros, el determinante es 0.
Intercambiar filas → signo cambia
Intercambiar dos filas multiplica el determinante por −1.
Errores frecuentes con determinantes
Calcular en matrices no cuadradas
El determinante solo existe para matrices cuadradas (2×2, 3×3, etc.). Una matriz 2×3 no tiene determinante.
Confundir diagonal principal y secundaria
En det[[a b],[c d]], el producto principal es a·d y el secundario es b·c. No los intercambies.
Pensar que det = 0 es un error
No es un error de cálculo. Significa que la matriz es singular: no tiene inversa y el sistema asociado no tiene solución única.
Aplicar la regla 2×2 a matrices 3×3
La fórmula a·d − b·c es solo para 2×2. Para 3×3 usa Sarrus o la expansión por cofactores.
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