Álgebra Lineal
Qué es un vector y cómo se calcula
Un vector tiene magnitud y dirección. A diferencia de un número escalar, no solo dice cuánto, sino también hacia dónde. Los vectores son fundamentales en física, ingeniería y matemáticas.
Respuesta rápida
¿Qué es un vector en matemáticas?
Un vector es una cantidad que tiene magnitud (tamaño) y dirección. Se representa como una flecha o como una lista de componentes. Un escalar solo tiene magnitud.
v = (3, 4) en 2D
|v| = √(3² + 4²) = √25 = 5
Magnitud del vector: 5 unidades
Qué es un vector
Un vector en el plano tiene dos componentes: horizontal (x) y vertical (y). En el espacio tiene tres: x, y, z. Cada componente indica cuánto avanza el vector en esa dirección.
A diferencia de un número, un vector no dice solo "cuánto" sino también "en qué dirección". La velocidad del viento es un vector: 80 km/h hacia el norte. La temperatura es un escalar: 25 grados, sin dirección.
Componentes y módulo
El módulo (magnitud) de un vector es su longitud. Para un vector v = (x, y), se calcula con el teorema de Pitágoras.
|v| = √(x² + y²)
v = (3, 4) → |v| = √(9+16) = √25 = 5
v = (1, 0) → |v| = √1 = 1 (vector unitario)
Un vector unitario tiene módulo 1. Se usa para indicar solo la dirección, sin magnitud.
Operaciones con vectores
Suma de vectores
Se suman componente a componente.
u = (2,3), v = (1,4) u + v = (2+1, 3+4) = (3, 7)
Multiplicación por escalar
Multiplica cada componente por el escalar. Cambia la magnitud, no necesariamente la dirección.
3 × (2, 4) = (6, 12)
Producto escalar (punto)
Multiplica componentes y suma los resultados. Da un número, no un vector.
u·v = u₁v₁ + u₂v₂ (2,3)·(1,4) = 2×1 + 3×4 = 2+12 = 14
Ángulo entre vectores
El producto escalar se puede usar para calcular el ángulo entre dos vectores. Si el resultado es 0, los vectores son perpendiculares.
cos(θ) = (u·v) / (|u| × |v|)
u = (1,0), v = (0,1)
u·v = 1×0 + 0×1 = 0
cos(θ) = 0 → θ = 90° (perpendiculares)
Errores frecuentes con vectores
Confundir vector y punto
El punto (3,4) indica una posición. El vector (3,4) indica un desplazamiento de 3 unidades en x y 4 en y. Son conceptos distintos.
Calcular módulo sumando componentes
|(3,4)| no es 3+4=7. El módulo se calcula con la raíz cuadrada de la suma de cuadrados: √(9+16) = 5.
Pensar que u·v da un vector
El producto escalar (u·v) da un número (escalar), no un vector. El producto vectorial (u×v) sí da un vector, y solo existe en 3D.
Sumar magnitudes sin considerar dirección
Dos vectores de magnitud 3 y 4 no dan necesariamente un vector de magnitud 7. Depende de su dirección relativa.
Calcula con vectores usando la calculadora de vectores o explora todas las calculadoras de matrices y vectores.
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