Álgebra
Raíces y radicales explicados con ejemplos
Una raíz es la operación inversa de una potencia. La raíz cuadrada de 9 es 3 porque 3² = 9. Los radicales permiten trabajar con esas operaciones en expresiones algebraicas.
Respuesta rápida
¿Qué es una raíz?
La raíz n-ésima de un número a es el valor que, elevado a la potencia n, da como resultado a.
√9 = 3 porque 3² = 9
³√27 = 3 porque 3³ = 27
⁴√16 = 2 porque 2⁴ = 16
Notación equivalente: √a = a^(1/2), ³√a = a^(1/3)
Raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número positivo a es el valor positivo que, al cuadrado, da a. Se escribe √a o a^(1/2).
Los cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada exacta. Si el número no es un cuadrado perfecto, la raíz es irracional.
Cómo simplificar radicales
Para simplificar un radical, se factoriza el número dentro buscando cuadrados perfectos que se puedan sacar fuera.
Simplifica √72
72 = 36 · 2
√72 = √36 · √2
= 6√2
Simplifica √50
50 = 25 · 2
√50 = √25 · √2
= 5√2
Simplifica √12
12 = 4 · 3
√12 = √4 · √3
= 2√3
Operaciones con radicales
Multiplicación
√a · √b = √(a·b)
√3 · √12 = √36 = 6
División
√a / √b = √(a/b)
√50 / √2 = √25 = 5
Suma (mismos radicales)
a√c + b√c = (a+b)√c
3√2 + 5√2 = 8√2
Solo puedes sumar radicales que tengan el mismo número bajo el símbolo de raíz. √2 + √3 no se puede simplificar.
Errores frecuentes con raíces y radicales
Sumar radicales distintos
√2 + √3 ≠ √5. Solo se pueden sumar radicales con el mismo número bajo la raíz.
√(a + b) = √a + √b
Falso. √(9 + 16) = √25 = 5, pero √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Son distintos.
Ignorar raíces negativas
La raíz cuadrada de un número negativo no tiene resultado real. √−4 no existe en los reales.
No simplificar antes de calcular
√72 es mejor simplificarlo a 6√2 que calcularlo directamente, sobre todo en álgebra.
Raíz cúbica y raíces n-ésimas
La raíz cúbica de un número a (escrita ³√a) es el valor que, elevado al cubo, da a. Las raíces n-ésimas generalizan este concepto: la raíz n-ésima de a es el valor que, elevado a n, da a. Se puede expresar como a^(1/n).
³√8 = 2
porque 2³ = 8
³√27 = 3
porque 3³ = 27
³√64 = 4
porque 4³ = 64
⁴√16 = 2
porque 2⁴ = 16
⁵√32 = 2
porque 2⁵ = 32
³√−8 = −2
las raíces cúbicas aceptan negativos
A diferencia de la raíz cuadrada, la raíz cúbica de un número negativo sí existe en los reales: ³√(−27) = −3.
Aplicaciones de las raíces
Geometría
La raíz cuadrada aparece en el teorema de Pitágoras al calcular la hipotenusa: c = √(a² + b²).
Física
La velocidad en caída libre usa raíces: v = √(2gh), donde g es la gravedad y h la altura.
Estadística
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, devolviendo el resultado en las mismas unidades que los datos.
Arquitectura e ingeniería
El cálculo de dimensiones a partir de áreas o volúmenes conocidos requiere raíces cuadradas y cúbicas.
Calcula raíces al instante
La calculadora de raíces calcula raíces cuadradas, cúbicas y n-ésimas, y muestra la simplificación de radicales paso a paso.